Sólidos Geométricos, Cilindros, Octágono y Número Pi

Sólidos Geométricos

 

Esfera 

Definición:

Una esfera es un sólido que tiene una figura completamente redonda definida en el espacio tridimensional. Similar a un círculo, cada punto en la esfera está ubicado a una misma distancia desde el centro.

Características principales:

• Una esfera es perfectamente simétrica.
• Las esferas no son poliedros, a diferencia del cubo, el prisma o la pirámide una esfera no tiene ninguna superficie plana.
• Todos los puntos de la esfera son equidistantes desde el centro
• Las esferas no tienen caras, vértices o aristas.
• Tienen una superficie curvada.

Elementos de una esfera:

• Centro: es el punto interior de una esfera, el cual es equidistante a cualquier otro punto en la superficie de la esfera.
• Radio: es la distancia o el segmento de línea desde el centro hasta cualquier punto en la superficie de la esfera.
• Diámetro: es una cuerda que pasa a través del centro de la esfera. La longitud del diámetro es igual al doble de la longitud del radio.
• Cuerda: es un segmento de línea que une a dos puntos en la superficie de la esfera.
• Polos: son lo puntos extremos en los ejes que están en la superficie de la esfera.
• Paralelos: son las circunferencias obtenidas al cortar a la superficie de la esfera con planos perpendiculares al eje de rotación.
• Meridianos: son las circunferencias obtenidas al cortar a la superficie de la esfera con planos que contiene al eje de rotación.
• Ecuador: es la circunferencia obtenida al cortar a la superficie de la esfera en un plano perpendicular al eje de rotación y que pasa en dos partes iguales.

En las siguientes imágenes se puede ver donde esta situado cada elemento de la esfera:

 

Ejemplos de la esfera en la vida cotidiana:

• Naranja
• Pelotas o balones de cualquier deporte.
• Canica 
• Burbujas
• Globo terráqueo, etc. 

Ovoide

Definición:

Es una figura cura no tienen ningún lado plano, es convexo y es simétrico. Su nombre deriva de su parecido con la sección longitudinal de un huevo. 

 

Características del Ovoide.

• Tiene un solo eje de simetría. 
• Tiene una semicircunferencia y una parte convexa

Ejemplos de ovoides en la vida diaria:

• Huevo 
• Aguacate
• Piedra
• Papaya
• Globo
• Esponjas de maquillaje, etc.

Toroide

Definición:

Es un solido de revolución que se genera al hacer girar un polígono o una circunferencia al rededor de un eje que es exterior. El toroide se caracteriza por tener una forma hueca como la de un anillo.

Ejemplos de toroides en la vida diaria:

• Anillo
• Neumático 
• Arete
• Dona
• Pulsera
• Cinta de aislar
• Flotador
• Rollos de masking tape o sellador
• Bastidor, etc.

Cilindro

     El cilindro es uno de los sólidos básicos, el cual tiene dos bases circulares paralelas la una de la otra. Las dos bases circulares están unidas por una superficie curvada, la distancia entre las dos bases circulares es igual a la altura del cilindro.

Los cilindros, rollos o tubos de cartón tienen una forma cilíndrica solo que son huecos por dentro y está abierto por sus dos extremos.

Materiales:

• 2 cilindros de cartón de los rollos de papel higiénico
• Tijera
• Cúter
• Marcadores
• Regla

 

Al primer cilindro de cartón se recortó sobre una línea que ya traen los cilindros, utilizando una tijera y un cúter. Al hacer el corte se observó que del cilindro se obtuvo un romboide como el de la imagen 1-1.

Imagen  1‑1. Cilindro

       Romboide

     Un romboide es un cuadrilátero ya que posee cuatro lados, tiene 4 ángulos, 2 ángulos de 36° y los otros dos de 144°, también tiene dos diagonales la diagonal menor (dm) con una medida de 11.1 cm y la diagonal mayor (DM) con una medida de 33.2 cm.

Imagen  1‑2. Diagonal mayor y menor del romboide

     En la parte de atrás del romboide, este se dividió en dos triángulos luego se midieron las alturas y bases de los triángulos y al recortar sobre la línea de la altura 1 (se dividió la figura en dos partes.

Imagen  1‑3. Romboide dividido en dos triángulos.

Al unir la pieza pequeña nuevamente a la pieza más grande, pero de lado contrario se formó un rectángulo como se observa en la imagen 1-4. Y de esta forma se comprueba que el área de un romboide y el área de un rectángulo es la misma ya que para calcular el área de un rectángulo se debe multiplicar la base por la altura y para calcular el área de un romboide también se multiplica la base por la altura. A pesar de que las figuras son diferentes en la forma son iguales en el área.

Imagen  1‑4. Rectángulo.

      Rombo

Un rombo también es un cuadrilátero, que tiene 4 lados y 4 ángulos. Dos ángulos miden 35° y los otros dos miden 145°. En la imagen 1-5 se ven marcadas las dos diagonales, con marcador rojo se escribió dm que quiere decir diagonal menor y con marcador de color lila se escribió DM que quiere decir diagonal mayor. La unión de estas diagonales forma 4 ángulos rectos de 90°. La diagonal menor tiene una medida de 9.1 cm y la diagonal mayor mide 28.4 cm. El rombo fue construido a base del romboide.

Imagen  1‑5. Diagonales del rombo.

Octágono de origami

Materiales:

• 8 hojas de papel iris de diferentes colores (rojo, amarillo, azul, verde, lila, naranja, negro, blanco)
• Tijeras

El octágono de origami se formó con 8 romboides, para hacer los romboides, se siguieron los sucesivos pasos:

Paso 1: se cuadro la hoja de papel iris remarcando una diagonal del cuadrado.

Imagen  2‑1. Cuadrado con una diagonal

 

Paso 2: se dobló la hoja por la mitad, la diagonal quedo de izquierda a derecha.

Imagen  2‑2. Cuadrado doblado por la mitad.

Paso 3:  se doblaron las esquinas superiores del cuadrado a modo de formar un triángulo al hacer esto quedó un pentágono irregular.

Imagen  2‑3. Triángulo formado en dos esquinas del cuadrado.

Paso 4: el pentágono irregular se dobló por la mitad.

Imagen  2‑4. Pentágono irregular doblado por la mitad.

Paso 5: seguidamente se dobló la esquina derecha superior que forma un ángulo recto hacia a dentro y de esta manera se formó un romboide.

Imagen  2‑5. Romboide.

De la misma forma se construyeron otros 7 romboides repitiendo los pasos del 1 al 5, para tener un total de 8 romboides de diferentes colores.

Imagen  2‑6. Ocho romboides

Para formar el octágono se tomaron dos romboides (amarillo y azul), se colocó el romboide azul dentro de la abertura del romboide amarillo como se ve en la imagen 2-7 y luego se doblaron hacia adentro las puntas del romboide amarillo.

Imagen  2‑7. Unión de romboides amarillo y azul.

 Luego se colocó el romboide rojo dentro de la abertura del romboide azul y se doblaron las puntas imagen 2-8.

Imagen  2‑8. Unión del romboide rojo con los romboides amarillo y azul.

Y así sucesivamente se colocaron los romboides; verde, negro, lila, naranja y blanco. Al encajar el último romboide que fue el romboide blanco se cerró la figura también se escondieron las puntas del romboide blanco en el romboide azul.

Imagen  2‑9. Octágono terminado.

Por acá dejo un enlace de un video para seguir los pasos de la construcción del octágono: https://www.youtube.com/watch?v=QtsQtbHj5nU

En este collage se puede observar las figuras geométricas que se pudieron formar al jugar a contraer y expandir las piezas del octágono, es curioso ver que la figura general es el octágono pero en el interior del octágono se pudieron formar figuras como un cuadrado, un rectángulo, un romboide, un hexágono y también un octágono.

Número Pi 

Para determinar la medida del número pi, en clase se hizo una práctica utilizando objetos con diferentes medidas de circunferencia. En total fueron 10 objetos, se midió la circunferencia y el diámetro de cada objeto, los datos se anotaron en una tabla y luego se calculó la relación entre la circunferencia y el diámetro de cada objeto y el promedio.

Imagen  3‑1. Objetos con circunferencia de diferentes medidas.

No	Nombre del objeto	Circunferencia	Diámetro	Circunferencia/Diámetro
1.	Bastidor	70.5 cm	22.5 cm	3.13 veces
2.	Tapadera de un molde de gelatina	74 cm	24.3 cm	3.04 veces
3.	Molde de pastel	63.4 cm	20 cm	3.17 veces
4.	Porcelana	51.8 cm	16.2 cm	3.19 veces
5.	Rollo de tape	16.2 cm	5.2 cm	3.11 veces
6.	Vaso	23.5 cm	7.4 cm	3.17 veces
7.	Base giratoria para pastel	87.6 cm	27.6 cm	3.17 veces
8.	Tapadera de una olla	73.7 cm	23.2 cm	3.17 veces
9.	Tapadera de un spray	20.5 cm	6.5 cm	3.15 veces
10.	Tapadera de un tupper	54.5 cm	17.1 cm	3.18 veces
				Σ 31.48

Promedio:

En la tabla anterior se anotó el nombre de cada objeto (columna 2), la medida de la circunferencia (columna 3), la medida del diámetro (columna 4), se calculó la relación entre la circunferencia y el diámetro (columna 5), es decir cuántas veces el diámetro esta contenido en la circunferencia.

La relación que existe entre la circunferencia de cualquier círculo (sin importar su tamaño) y el diámetro es que la circunferencia equivale a tres veces y un poquito más al tamaño de su diámetro y esto corresponde al “número Pi” cuyo valor es 3.141592653589… que comúnmente se redondea a 3.1416 o simplemente se trabaja como 3.14.

En teoría para calcular la circunferencia se debe multiplicar el número pi por el diámetro o también multiplicar 2 veces el radio por pi, ya que el diámetro equivale a dos veces el radio.

El objeto que más se acerca al valor del número pi calculando la relación entre la circunferencia y el diámetro es el bastidor, el valor es 3.13 muy cerca de 3.14. Entre el resto de los objetos se puede observar que el objeto 2 tiene un valor de 3.04 este valor es más pequeño que el valor del número pi y el resto de los objetos son mayores al valor del número pi. Pero al hacer el promedio entre todos los objetos se comprueba el valor de la relación entre la circunferencia y el diámetro que es de 3.14 y esto es igual al valor teórico del número Pi. (Si solo se toman los primeros dos decimales).

CONCLUSIONES

•  A pesar de que un rectángulo y un romboide no tienen la misma forma el área de ambos se mide de la misma forma multiplicando la base por la altura. En la práctica se comprobó que al descomponer el romboide en dos partes una más grande que la otra y ordenar las piezas de forma distinta se puede formar un rectángulo. Los tubos de papel higiénico tienen muchos usos, se pueden utilizar para hacer manualidades, pero en este caso se utilizó para estudiar figuras geométricas como el romboide y el rectángulo y un cuerpo geométrico como el cilindro.
•  El origami es una técnica que consiste en el plegado de papel sin utilizar tijeras ni pegamento para formar diversas formas, en esta ocasión se utilizó para formar un octágono mágico, a base de 8 romboides también construidos con dobleces y luego ensamblados para formar el octágono mágico. En el centro del octágono mágico se descubrieron varias figuras geométricas al contraer y extender las piezas, es un material muy práctico para enseñar las figuras geométricas y por los colores es muy llamativo.
• El número pi siempre está contenido en una circunferencia y esto se pudo comprobar mediante la práctica realizada y al analizar la relación entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. El diámetro esta contenido en la circunferencia 3.14 veces y es lo que nosotros conocemos como el valor del número pi.